四円と相似中心

2023年8月29日

数学-幾何

今回は、基本的な証明問題を解いてみたいと思います。それでは、よろしくお願いします。

問題

問題: 四円と相似中心

互いに共有点を持たない四円 $\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4$ が存在する。点 $O_{ij}$ を円 $\omega_i,\omega_j$ の共通外接線の交点とする。 $O_{12}O_{34},O_{23}O_{41},O_{13}O_{24}$ の中点をそれぞれ $P,Q,R$ とするとき、これらは共線となることを示せ。

使う道具は難しいですが、基本的な問題です。

解説

図1.解説の図形

Mongeの定理より、六点 $O_{12},O_{23},O_{34},O_{41},O_{13},O_{24}$ はどの三点を選んでも共線となるような四角形(完全四角形)である。よって、完全四角形の三本の対角線の中点が共線であることを示せばよい。ここで、二頂点を無限遠点へ飛ばすような適切な射影変換を考えれば、それらの中点は自明に共線である。 $\blacksquare$

この完全四角形における共線は、ニュートン線と呼ばれているようです。射影変換ではなく、座標などでも容易に示すことができます。