立方数の離散性

今回は、基本レベルの証明問題を解いてきます。それでは、よろしくお願いします。

問題

モジュロなどに着目する方法もありますが、この解法が一番スマートだと思います。ちなみに、立方数である必要はなく、一般にn乗数の離散性はとても重要なテクニックになります。

解説

与式を変形して、\(y^3(3^x-1)=81^x-1\) を得る。\(3^x-1 \not= 0\) であるので、\(y^3 = \frac{81^x-1}{3^x-1}\) を得る。 \(\frac{81^x-1}{3^x-1}=3^{3x}+3^{2x}+3^x+1\) であるから、\(y^3 = 3^{3x}+3^{2x}+3^x+1\) である。一方で、 \[(3^x)^3 = 3^{3x} < 3^{3x}+3^{2x}+3^x+1 < 3^{3x}+3^{2x+1}+3^{x+1}+1 = (3^x+1)^3\] であるが、\((3^x)^3\) と \((3^x+1)^3\) が隣り合う立法数であることに矛盾する。よって、与式を満たすような正整数 \(x,y\) は存在しない。