周期を持つ数列とその利用
今回は、周期を持つ数列の性質と、それを応用していろいろな関数について考えてみたいと思います。それでは、よろしくお願いします。
定義
本記事での周期数列について、改めて定義しておきましょう。
数列 \(\{a_n\}\) が周期数列であるとは、正整数の定数 \(c\) が存在して、任意の正整数 \(n\) に対して、 \[a_{n+c} = a_n\] が成り立つことをいう。また、そのような \(c\) のうち、最小のものを基本周期と呼ぶ。
\(0,1,0,1,0,1,\cdots\) とか、\(1,2,3,1,2,3,1,2,3,\cdots\) などが周期数列であり、それぞれの基本周期は \(2,3\) となります。
今回は、このような周期数列の一般項について考え、その性質を考えていきたいと思います。
性質
数列 \(\{a_n\}\) の周期が \(c\) であるとき、\(k\) を定数として、 \[a_n+a_{n+1}+\cdots+a_{n+c-1} = k\] が成り立つ。
証明
周期性より、 \[a_n+a_{n+1}+\cdots+a_{n+c-1} = a_1+a_2+\cdots + a_{c} (= k)\] となる。\(\blacksquare\)
数列 \(\{a_n\}\) の周期が \(c\) であるとき、その一般項は複素数 \(x_1,x_2,x_3,\cdots,x_{c}\) を用いて、 \[a_n = x_1+x_2\zeta_c^{n}+x_3\zeta_c^{2n}+\cdots +x_{c}\zeta_c^{(c-1)n}\] と表される。ただし、\(\zeta_c\) を \(1\) の \(c\) 乗根のうち \(1\) でないもののひとつとする。
証明
\(b_n = a_n - \frac{a_1+a_2+\cdots + a_c}{c}\) とするとき、 \[b_n+b_{n+1}+\cdots + b_{n+c-1} = 0\] となる。ここで、こちらの結果と、方程式：\(x^{c-1}+x^{c-2}+\cdots+1=0\) の解が \(\zeta_c,\zeta_c^2,\cdots,\zeta_c^{c-1}\) であることより、その一般項は目的の形で表されることがわかる。
応用
ここからは、周期関数の応用について考えてみます。実用性は...分からないです。とりあえず、なんかかっこ良いので考えてみましょう。
正整数 \(n\) の正の約数の個数を \(d(n)\) とするとき、 \[d(n) = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1+\zeta_k^{n}+\zeta_k^{2n}+\cdots +\zeta_k^{(k-1)n}}{k}\] となる。ただし、\(\zeta_k\) を \(1\) の \(k\) 乗根のうち \(1\) でないものとする。
この数式の意味について考えてみます。まず、 \[f_k(n) = 1+\zeta_k^{n}+\zeta_k^{2n}+\cdots +\zeta_k^{(k-1)n}\] について考えてみます。これは \(n\) が \(k\) の倍数のときに \(k\) となり、そうでないときには \(0\) となることが \(1\) の \(k\) 乗根の性質からわかります。
\(d(n)\) はその形から、 \(k\) の倍数のときに \(1\) を返す関数の和となっているのです。 つまり、約数のぶんだけ \(1\) が返されるので約数の個数を返してもらえるわけですね。
正整数 \(n\) の正の約数の総和を \(\sigma(n)\) とするとき、 \[\sigma(n) = \sum_{k=1}^{\infty}{\left(1+\zeta_k^{n}+\zeta_k^{2n}+\cdots +\zeta_k^{(k-1)n}\right)}\] となる。ただし、\(\zeta_k\) を \(1\) の \(k\) 乗根のうち \(1\) でないもののひとつとする。
同様の発想で、約数の総和についても考えることができます。
約数の個数との違いは、\(k\) で割る操作がなくなっているということです。 これによって、\(n\) が \(k\) の倍数であるとき、\(1\) ではなく、\(k\) を返すようになります。あとは全く同様に考えることで、約数の総和を返すことがわかります。