素数と平方根の整数問題
今回は、基礎的な素数と平方根にまつわる問題を解いてみます。それでは、よろしくお願いします。
問題
問題: 素数と平方根の整数問題
\(p,q,r\) を相異なる素数とする。以下の二数が整数であるとき、\(p,q,r\) を求めよ。 \[\sqrt{pq+1}, \ \sqrt{qr+1}\]
すべきことをすれば解けます。
解説
\(\sqrt{pq+1} = a, \ \sqrt{qr+1} = b\) とする。これを二乗して整理して、 \[ (a+1)(a-1)=pq, \ (b+1)(b-1)=qr \] を得る。約数の分配を考えることで、\(p,q\) と \(q,r\) はそれぞれ双子素数であることがわかる。 すなわち、\(p,q,r\) は三つ子素数である。唯一の三つ子素数 \(3,5,7\) がこれに該当する。よって、\((p,q,r)=(3,5,7),(7,5,3)\) である。