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二項係数とp進法

今回は二項係数をp進法展開を用いて考察していきたいと思います。 説明するよりも、見てもらった方が早いと思うので今回は二つの問題を紹介します。 それでは、よろしくお願いします。

元記事で、議論を広げる素晴らしいコメントをいただいています。 興味があったら見てみてください。

問題1

問題1: 自作問題

2022Cn5 で割り切れるような 2022 以下の正整数 n の個数を求めよ。

方針:2022Cn(x+1)2022xn の係数と見て, p で割った余りを考える。

解答

(x+1)20225 で割った余りを考える。 以下では x は整数とし、合同式は全て 5 を法とする。 (x+1)5=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1x5+1 であり、さらに、 (x+1)5kx5k+1 である。 これを用いて、5 進法で展開することを考える。 2022(10)=31042(5) であるから、 (x+1)20225 で割った余りは以下のように表現することができる。 (x+1)2022=(x+1)354(x+1)153(x+1)052(x+1)451(x+1)250(x54+1)3(x53+1)(x51+1)4(x50+1)2(x625+1)3(x125+1)(x5+1)4(x+1)2 ここで、x625=x4,x125=x3,x25=x2,x5=x1,x1=x0 とすると、 (x625+1)3(x125+1)(x5+1)4(x+1)2=(x4+1)3(x3+1)(x1+1)4(x0+1)2(x43+3x42+3x4+1)(x3+1)(x14+4x13+6x12+4x1+1)(x02+2x0+1) となる。 ここで、 上の式は 5 の倍数を含んでいないので展開しても 5 の倍数を含む項は存在しない。 逆に上の式にない項は 5 で割り切れる。 よって、5 の倍数とならないような n4×2×1×5×3=120 となって 120 個存在する。 したがって、求める n の個数は 2022120=1902 となって 1902 個となる。

問題2

問題2: 2021東大理系第四問

2021C374 で割った余りを求めよ。

方針:問題1と同様

解答

以下では合同式は全て 4 を法とする。 (x+1)4=x4+4x3+6x2+4x+1x4+2x2+1=(x2+1)2 であるので、これを利用して、 (x+1)2k+1(x2k+1)2 となる。 (x+1)2021x37 の係数について考える。 2021(10)=11111100101(2) であるので、 (x+1)2021=(x+1)210(x+1)29(x+1)28(x+1)27(x+1)26(x+1)25(x+1)22(x+1)20(x29+1)2(x28+1)2(x27+1)2(x26+1)2(x25+1)2(x24+1)2(x21+1)2(x+1)20(x512+1)2(x256+1)2(x128+1)2(x64+1)2(x32+1)2(x16+1)2(x2+1)2(x+1) となる。 x37 の係数さえわかればよいので、x64 以上の項は無視してよい。 (x25+1)2(x24+1)2(x21+1)2(x20+1)=(x25+1)(x25+1)(x24+1)(x24+1)(x21+1)(x21+1)(x20+1)x37 の係数を考える。 ここで、さらに 37(10)=100101(2) であるから、 2021C373 となる。