整数の特殊な不等式
今回は、癖の強い整数の不等式を解いていきたいと思います。それでは、よろしくお願いします。
問題
\(n\) と \(x,y,z\) を正整数とする。\(n,x,y,z\) に関して \[ \frac{1}{n}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2} < 1 \] が成り立つとき、\(\frac{1}{n}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\) が取りうる最大値を求めよ。
普通の不等式の問題とは毛色が違います。 整数にまつわる不等式は整数特有の議論があってとても面白い問題が多いので、個人的には好きです。 この問題はシルベスター数列にまつわる有名問題の応用です。 シルベスター数列に関しては、高校数学の美しい物語のこちらに載っています。 今回の問題に関しては、設定を変えていろいろ研究してみるのも面白いかもしれません。
解説
\((n,x,y,z) = (2,2,3,3)\) のとき最大値 \(\frac{35}{36}\) となることを示す。
\(n \geq 5\) の場合
\[\frac{1}{5}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2} \leq \frac{1}{5}+3\cdot \frac{1}{2^2} = \frac{19}{20} \leq \frac{35}{36}\] となる。
\(n=4\) の場合
\[\frac{1}{4}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2} \leq \frac{1}{4}+2\cdot \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2} = \frac{31}{36} \leq \frac{35}{36}\] となる。
\(n=3\) の場合
\[\frac{1}{3}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2} \leq \frac{1}{3}+2\cdot \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2} = \frac{17}{18} \leq \frac{35}{36}\] となる。
\(n=2\) の場合
\[\frac{1}{2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2} \leq \frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+2\cdot \frac{1}{3^2} = \frac{35}{36} \leq \frac{35}{36}\] となる。
以上より、最大値は \(\frac{35}{36}\) である。