Feuerbach点と共線
今回は、基本的な相似拡大の問題を解いてみます。それでは、よろしくお願いします。
問題
内心を \(I\) とする三角形 \(ABC\) において、その九点円を \(\Gamma\) とし、頂点 \(B,C\) に対する傍接円を \(\omega_B,\omega_C\) とする。 \(\Gamma\) と \(\omega_B,\omega_C\) の接点をそれぞれ \(T_B,T_C\) とし、\(BT_B,CT_C\) の交点を \(P\) とする。 \(BI,CI\) と対辺の交点を \(U_B,U_C\) とし、\(T_BU_B,T_CU_C\) の交点を \(Q\) とする。このとき、\(P,Q,I\) が共線となることを示せ。
この解説を読むために必要な知識は、こちらの記事で解説しています。
解説
図1.問題文の図形
三角形 \(ABC\) の内接円を \(\omega\) とする。ここで、以下の補題を示す。
補題1.
\(P\) は \(\omega\) と \(\Gamma\) の内相似中心である。
証明
\(\omega,\omega_B,\Gamma\) に対して、内相似中心のMongeの定理を適用することで、\(B,T_B\) と \(\omega\) と \(\Gamma\) の内相似中心が共線となることが分かる。 同様に、\(C,T_C\) と \(\omega\) と \(\Gamma\) の内相似中心も共線なので、\(P\) は \(\omega\) と \(\Gamma\) の内相似中心である。\(\blacksquare\)
補題2.
\(Q\) はFeuerbach点である。
証明
\(\omega,\omega_B,\Gamma\) に対して、補題1とは違う方法で内相似中心のMongeの定理を適用することで、\(U_B,T_B\) と \(\omega\) と \(\Gamma\) の外相似中心が共線となることが分かる。 同様に、\(U_C,T_C\) と \(\omega\) と \(\Gamma\) の外相似中心も共線なので、\(Q\) は \(\omega\) と \(\Gamma\) の外相似中心、特にFeuerbach点である。\(\blacksquare\)
\(\omega,\Gamma\) に着目すれば、それらの外相似中心、内相似中心、中心、すなわち、\(Q,P,I\) が共線であることが分かる。よって、題意は示された。\(\blacksquare\)
周辺の定理
この問題とほぼ同様にして、以下の命題を証明することができます。証明の解答はこちらです。
三角形 \(ABC\) において、その九点円を \(\Gamma\) とし、頂点 \(A,B,C\) に対する傍接円を \(\omega_A,\omega_B,\omega_C\) とする。 \(\Gamma\) と \(\omega_A,\omega_B,\omega_C\) の接点をそれぞれ \(F_A,F_B,F_C\) とするとき、\(AF_A,BF_B,CF_C\) は共線である。
証明は上のリンクにあります。
内心を \(I\) とする三角形 \(ABC\) において、その九点円を \(\Gamma\) とし、頂点 \(A,B,C\) に対する傍接円を \(\omega_A,\omega_B,\omega_C\) とする。 \(\Gamma\) と \(\omega_A,\omega_B,\omega_C\) の接点をそれぞれ \(T_A,T_B,T_C\) とし、 \(AI,BI,CI\) と対辺の交点を \(U_A,U_B,U_C\) とする。 このとき、\(T_AU_A,T_BU_B,T_CU_C\) は共点である。特に、その点はFeuerbach点である。
証明は上のリンクにあります。