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Feuerbach点と共線

今回は、基本的な相似拡大の問題を解いてみます。それでは、よろしくお願いします。

問題

問題: Feuerbach点と共線

内心を I とする三角形 ABC において、その九点円を Γ とし、頂点 B,C に対する傍接円を ωB,ωC とする。 ΓωB,ωC の接点をそれぞれ TB,TC とし、BTB,CTC の交点を P とする。 BI,CI と対辺の交点を UB,UC とし、TBUB,TCUC の交点を Q とする。このとき、P,Q,I が共線となることを示せ。

この解説を読むために必要な知識は、こちらの記事で解説しています。

解説

解説の図

図1.問題文の図形

三角形 ABC の内接円を ω とする。ここで、以下の補題を示す。

補題1.

PωΓ の内相似中心である。

証明

ω,ωB,Γ に対して、内相似中心のMongeの定理を適用することで、B,TBωΓ の内相似中心が共線となることが分かる。 同様に、C,TCωΓ の内相似中心も共線なので、PωΓ の内相似中心である。

補題2.

Q はFeuerbach点である。

証明

ω,ωB,Γ に対して、補題1とは違う方法で内相似中心のMongeの定理を適用することで、UB,TBωΓ の外相似中心が共線となることが分かる。 同様に、UC,TCωΓ の外相似中心も共線なので、QωΓ の外相似中心、特にFeuerbach点である。

ω,Γ に着目すれば、それらの外相似中心、内相似中心、中心、すなわち、Q,P,I が共線であることが分かる。よって、題意は示された。

周辺の定理

この問題とほぼ同様にして、以下の命題を証明することができます。証明の解答はこちらです。

命題1: Feuerbach点と共点1

三角形 ABC において、その九点円を Γ とし、頂点 A,B,C に対する傍接円を ωA,ωB,ωC とする。 ΓωA,ωB,ωC の接点をそれぞれ FA,FB,FC とするとき、AFA,BFB,CFC は共線である。

証明は上のリンクにあります。

命題2: Feuerbach点と共点2

内心を I とする三角形 ABC において、その九点円を Γ とし、頂点 A,B,C に対する傍接円を ωA,ωB,ωC とする。 ΓωA,ωB,ωC の接点をそれぞれ TA,TB,TC とし、 AI,BI,CI と対辺の交点を UA,UB,UC とする。 このとき、TAUA,TBUB,TCUC は共点である。特に、その点はFeuerbach点である。

証明は上のリンクにあります。