初等的な不等式5問！
今回は、最近作った不等式5問とその解説です。 そこそこ自信作です。 まぁまぁ難しいです。 それでは、よろしくお願いします。
問題
下にLaTeXで作成したPDFを置いておきますが、一応ここにも問題を書きたいと思います。第一問
\(a,b,c\) を正の実数とするとき、以下の不等式を示せ。 \[ \frac{6a + b + 2c}{a + 3b + 2c} + \frac{2a - 2b + 3c}{2a + 3b + c} + \frac{8a + 7b + 6c}{5a + b + 3c} \geq 4 \]第二問
\(a,b,c\) を \(a + b + c = abc\) なる正の実数とするとき、以下の不等式を示せ。 \[ \frac{(a + b + c)^2}{(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)} \leq \frac{27}{64} \]第三問
\(a,b,c\) を正の実数とするとき、以下の不等式を示せ。 \[ \frac{a}{a^2 + b + 1} + \frac{b}{b^2 + c + 1} + \frac{c}{c^2 + a + 1} \leq 1 \]第四問
\(a,b,c\) を \(a + b + c = 1\) なる正の実数とするとき、以下の不等式を示せ。 \[ \frac{a^4}{b\sqrt{ca - b + 2}} + \frac{b^4}{c\sqrt{ab - c + 2}} + \frac{c^4}{a\sqrt{bc-a + 2}} \geq \frac{1}{12} \]第五問
\(n\) を正整数、\(x_1,x_2,\cdots , x_n\) を \(x_1x_2\cdots x_n = 1\) なる正の実数とするとき、以下の不等式を示せ。 \[ x_1^3 + x_2^3 + \cdots + x_n^3 + n \geq 2(x_1 + x_2 \cdots + x_n) \]PDF(問題と解答)
・問題： 問題.pdf
・解答： 解答.pdf